Dove va a finire quel tubo?
Se finisce dentro la scatola filtro aria potrebbe essere il tubo del ricircolo dei vapori dell'olio.
Il suo aspetto esterno untuoso lo fa pensare e si spiegherebbe anche il buon funzionamento della moto nonostante la sua rottura/disconnessione.
Paradossalmente infatti la moto funziona meglio senza quel tubo collegato perchè il motore respira aria "più fresca e pulita".

A parte questo dettaglio, il pezzo, se è rotto, va sostituito e correttamente collegato perchè in caso contrario non si è a posto con le norme antinquinamento.