Azz... Teorema d'incompletzza insintesi
 

Difficilissimo spiegarlo in due parole su un forum di motociclisti...
E dubito che interessi i più...
Comunque, caro AlexGrey, ci provo, condensando all'inverosimile.
Però, poi mi pagate...

Partiamo dalla famosa "antinomia del mentitore" (di Epimenide, personaggio semi-leggendario).
Prendiamo questa frase: IO SONO UN BUGIARDO.
Chiediamoci se l'asserto sia vero o falso. Qual'è la risposta?

Se la frase è vera, cioè se è vero che chi la prouncia è un bugiardo, allora essa deve essere una menzogna, ossia deve essere falsa.
Se viceversa la frase è falsa, cioè se colui che la prununcia non è un bugiardo bensì uno che dice la verità, allora essa deve essere vera.
In conclusione: se l'enunciato è vero, allora è falso; e se è falso, allora è vero.
In altre parole: se chi pronuncia la frase è un bugiardo, allora non è un bugiardo; se invece non è un bugiardo, allora è un bugiardo.

Un bel casino! Trattasi di una frase che si autonega.
Da cosa dipende questa stranezza? Semplice: dal fatto che l'asserto ricade su sé medesimo, ossia è autoreferenziale.
Abbiamo insomma un percorso logico non stratificato, ma chiuso su sé medesimo. Quello che si chiama un circolo vizioso.
Cosa ha tutto questo a che vedere col teorema d'incompletezza di Gödel?

Per capirlo occorre ricordare che i maggiori matematici della fine del XIX secolo e dell'inizio del XX secolo stavano cercando di "meccanizzare" completamente il ragionamento logico, cioè il procedimento atto a DIMOSTRARE qualcosa. Questo significa che tentavano di ridurre l'intera matematica a una serie di premesse (assiomi) e a delle regole di derivazione (dimostrative) esplicite passo-passo, prescindendo completamente dall'intuito. L'intuito era infatti giudicato pericoloso e possibilmente fallace per i suoi aspetti impliciti.

Insomma, gli studiosi di punta stavano cercando di ridurre la dimostrazione matematica a una serie di ruotismi, di cinghie di trasmissione e di leve, mi spiego? Questo tipo di matematica si chiama MATEMATICA FORMALE. Conta solo la forma esteriore, non il significato annesso alle formule e ai loro segni. Si tratta della matematica che sanno trattare i calcolatori. E, infatti, alcuni computer vengono impiegati per la generazione automatica di teoremi. La domanda è: può l'intera matematica essere ridotta a puro formalismo? I formalisti credevano di sì. Si trattava di codificarla per benino.

Costoro sapevano bene che i circoli viziosi potevano minare alla base i loro sforzi. Infatti, se fosse stato possibile creare delle condizioni autoreferenziali con le regole dimostrative, beh allora patatrac, tutto sarebbe andato a quel paese, perché sarebbe stato possibile ottenere formule che non erano tassativamente solo vere o solo false, proprio come capita alla storica
frase di Epimenide. Pertanto, le regole dimostrative furono scelte in modo tale da garantire la massima chiarezza e impedire qualunque percorso logico chiuso su sé stesso. Questo almeno negli intenti.

Venne Kurt Gödel è scombinò tutto con un lavoro steso a soli 25 anni.
Come fece questi a schiantare le ricerche dei formalisti? Lo fece stabilendo un circolo autoreferenziale, proprio il diavolo che tutti temevano.
Il procedimento non lo posso riportare qui (prevede una speciale numerazione con i numeri primi), ma posso dire che si fondava sulla METAMATEMATICA.
Cosa è la metamatematica? E' matematica che parla di matematica.
Per intenderci: se io uso le parole per discutere di un certo linguaggio, ad es. delle sue regole sintattiche, ortografiche, ecc, ebbene io adotto un METALINGUAGGIO, insomma un
linguaggio che parla di un linguaggio. Per non confondere i livelli, basta ricordare quale sia il criterio di rappresentazione. Ad esempio, il linguaggio che descrive lo riporto in nero e quello
descritto in rosso; oppure, uso le virgolette... Una cosa simile fece Gödel: usò il rigore della matematica per discutere della matematica stessa.

Nella metamatematica di Gödel le formule sono formule abituali, ossia hanno un aspetto del tutto normale, ma hanno anche un altro ruolo: parlano di altre formule.
Basta ricordare il criterio che uno assume per rappresentare con segni e variabili non già quantità, ma, appunto, altre formule.
In questo modo egli trovò una formula che diceva qualcosa a proposito di un'altra formula la quale, guarda caso, era identica alla prima!
Insomma, la formula che decriveva e quella descritta coincidevano.
Così, Gödel costruì una formula autoreferenziale, cioè una formula che diceva qualcosa su sé medesima!

Che diceva quella formula? Diceva implicitamente: "Io non sono dimostrabile".
Per il procedimento di rappresentazione stabilito da Gödel, chi interpretava quella forumula si rendeva conto fuori da ogni dubbio che quella formula era VERA.
Un formalista mai e poi mai avrebbe voluto basarsi su un'interpretazione, cioè su qualcosa di implicito, ma persino un formalista doveva riconoscere che quell'attribuzione di significato era sicura al 100%.

La conclusione era questa: IN QUALUNQUE FORMALISMO MATEMATICO ESISTONO FORMULE VERE CHE NON SONO DIMOSTRABILI COME TALI ALL'INTERNO DEL SISTEMA.
Vuol dire in pratica che le cinghie e le leve non riescono a mettere in moto tutti i ruotismi; c'è qualche ingranaggio che resta inevitabilmente "in folle".
Vuol dire che la matematica formale, privata cioè dell'intuito e dei significati, è INCOMPLETA.

Era una sorta di rivincita del platonismo, cioè delle capacità mentali umani di "vedere" direttamente la verità (o la falsità), al di là di ogni convenzione formale.
Fu una bomba.

:) :) :)

Bello...bello.

:offtheai: :offtheai: :offtheai:



:sleepy1: :sleepy1: :sleepy1:

Una specie di dimostrazione matematica del principio di Galileo?

Bravissimo Guanaco, é una storia davvero interessante!
:D :D :D :D :D

..che botta di cultura.:rolleyes:

azz....dura da mandare giu'.....

Guanaco, forse l'esempio usato da Hofstadter puo' essere d'aiuto a capire alcune conseguenze di questo teorema.

Prendiamo un giradischi, uno di quelli di una volta coi dischi in vinile.

Il teorema di Godel dice che esiste almeno un disco che se suonato su quel giradischi lo fa "esplodere" facendolo entrare in risonanza.

Allora uno potrebbe dire: beh faccio un apparecchio che usando un fascio laser studia il disco e vede se e' "compatibile" col giradischi, e cosi' risolvo il problema di non far esplodere il giradischi.

Giusto, e cosi' allargando il nostro "sistema" abbiamo risolto il problema del giradischi... peccato pero' che abbiamo introdotto un nuovo problema ovvero che esista almeno un disco che e' "incompatibile" con il riconoscitore di dischi e per quello specifico disco il riconoscitore di dischi va in palla ed esplode.

Insomma ogni volta che risolviamo i problemi di un sistema creandone uno piu' complesso si aggiunge un nuovo problema.

In soldoni: qualunque sistema o ragionamento che sia formale (ovvero che segua delle regole rigorose) ha dei limiti intrinseci e c'e' bisogno di prendere in considerazione un sistema piu' ampio di quello di partenza per poterne valutare la corretezza, solo che questo processo di allargare il sistema procede all'infinito... in altre parole non si puo' dimostrare logicamente l'esistenza di Dio... ;)

Enro, io ho solo dato un sunto dell'approccio di Goedel, poi entrare nel merito della omega-incompletezza (questo è il termine tecnico) credo che esuli da QdE.

Comunque, il tuo richiamo a Hofstadter è eccellente.

;)

questa del giradischi l'ho capita.....
sono un perito squallido io ho bisogno del motore che gira...o del disco..

Mi dispiace.:(
Giunto alla lettura del terzo paragrafo mi è preso uno strano sentimento....:enforcer: ed ho desistito dal continuare.:mad:

nulla esula da qde....;)

nulla di intelligente e curioso dovrebbe esulare.

si potrebbe fare un esempio usando i dischi dei freni e l'ABS ;) :confused: :lol:

Questo vuol dire che quando la BMW dice che le loro moto vanno bene così...HA RAGIONE??????????

La penso anch'io così, ma credo che molti non siano d'accordo...

Cmq, poche cose sono più intelligenti e curiose di Goedel...

;)

Che cosa, che la matematica formale è incompleta?

In parte sì, è un sogno infranto.

Ma è anche la rivincita dell'intuito umano.

;)

Molto interessante e ben esposto! :!:
Chapeau!!
Grazie ;)

Io non so cosa esuli o meno, però questa discussione per me è interessantissima.
Complimenti :D

Per andare terra a terra o meglio, per farmi ordine mentale (insomma, per provarci;) ) questa affermazione che quoto è la spiegazione del termine "postulato"?

Stavo programmando....
 

Ruspando appunto dentro un algoritmo di calcolo illuminotecnico...ho smesso per leggere, molto interessante, grazie.:!:

Ma quanto mi piace questa realtà che non si lascia formalizzare nemmeno da un modello matematico. Del resto se fosse in qualche modo possibile, l'intelligenza artificiale avrebbe creato il "computer umano" formalizzando il metalinguaggio (che nel momento in cui viene formalizzato ha bisogno di un nuovo metalinguaggio per essere analizzato).
Godel fa una cosa bellissima con il suo teorema; dice agli umani che si vive nell' indeterminatezza e che questo è il prezzo dell'evoluzione.
ciao peppe

no, che la matematica formale sia incompleta per me è una bella notizia.
era dura da mandare giu' la spiegazione. Ma non per colpa tua ma per colpa della mia ignoranza in materia

Intendi il principio di relatività?
No, in questo senso il teorema di Gödel non relativizza nulla.
Al contrario, assolutizza.
Dice appunto che non è possibile dimostrare tutte le formule vere con un procedimento meccanico che parta dagli assiomi e, passo-passo, derivi altre formule.
Questo è un fatto assoluto.
Significa che sussisteranno sempre formule vere, ma non dimostrabili.
La loro verità può desumersi eventualmente solo per via intuitiva.

Fuochino, ma non fuoco.
Il termine "postulato" deriva dal latino "postulare", cioè 'chiedere' o 'richiedere'.
Si tratta di una premessa che viene posta ex-post, cioè che viene stabilita a posteriori, insomma a conti fatti.
I postulati sono spesso riferiti al mondo fisico, piuttosto che a quello matematico (ma non necessariamente).
Con un postulato si rende ordinata e coerente la derivazione di una legge di natura, ovvero di una regola dinamica, meccanica, ecc.
In matematica si usa piuttosto parlare di "assiomi", cioè di verità primitive indiscutibili da cui si vorrebbe far derivare tutto il resto ("assioma" viene dal greco e significa 'degno', 'valido').
Ora, la tua osservazione è pertinente, perché una formula vera ma non dimostrabile potrebbe essere a posteriori inserita nel corpo degli assiomi, in modo da completarlo con qualcosa che, in un certo senso, prima era "scappata". Insomma, un postulato tappabuco. Tuttavia, Gödel ci dice che questo non serve a niente. Il sistema diventa sì più potente, ma resta inesorabilmente incompleto, nel senso che conterrà ancora (infinite) formule non dimostrabili. Se leggi l'intervento di prima di Enrocoso che si riferisce all'esempio dei giradischi di Hofstadter realizzi subito quale sia la condizione. E' la storia della coperta troppo corta: copre le spalle o i piedi, ma non entrambi insieme.

E' solo che queste cose andrebbero digerite, fatte sedimentare.
Non credo sia questa la sede.
Però, sono rimasto colpito dall'interesse di diversi forumisti (che ringrazio).
Mica male...

;)

complimenti per l'esposizione chiara anche a chi non è avvezzo ai concetti matematici.

....mazza che bravo Guanaco (in entrambe le spiegazioni). :!: :!: :!:
Complimenti, sia per i concetti che per il modo con cui gli hai esposti.
Ho capito qualcosa pure io che di matematica non capisco un cippa.:D :D :D